具体的な最適化手法（１） 目的関数

（2014/6/25 19:20　計算式修正）
さて前回は、システム評価・最適化をマネージメントに絡めて考察しました。　　今回は、その考察結果を元に、最適化やシステム評価（≒パフォーマンス評価）の具体的な手法について書いてみます。



１．おさらい


前回、資産の最大化を目指す「目的関数（≒パフォーマンス評価方法）」として、「オプティマルｆにおける幾何平均」がよい、と考えましたが、付随して配慮すべき点もありましたので、どういったシステムを良い、と考えるのかを、一旦整理します。


　　■　目的関数の特性

1. オプティマルｆにおける幾何平均が高いほどよい
2. 同じ「オプティマルｆにおける幾何平均」であれば、オプティマルｆは低いほどよい
3. 「オプティマルｆにおける幾何平均」÷オプティマルｆが同じでも、「オプティマルｆにおける幾何平均」が高いほどよい

「オプティマルｆ」については、過去ブログ記事の「ロット数を決める方法（資金管理）について」を参照ください。　この記事での、複利運用で資産を最大化するリスク量（初期リスク％）が、「オプティマルｆ」です。　（リスク量が一定以上大きくなると、リターンが減少していきます）



２．目的関数の計算式


評価値（年率オプティマルｆレシオ）　＝
　平方根[ ｛ （オプティマルｆにおける複利年率＋１００％）＾２－１ ｝ ÷ オプティマルｆ ］　　　（式１）
（2014/6/25 計算式修正）

ずばり、これがいいのではないか、と思っています。　　例えば、オプティマルｆが初期リスク１０％で、その時の複利年率が＋３０％であった場合は、以下の様に計算されます。


　　　評価値　＝　平方根［ ｛（３０％＋１００％）^2-1｝　÷　１０％ ]
　　　　　　　 　＝　平方根［ ｛ （０．３＋１）＾２－１ ｝　÷　０．１ ］
　　　　　　　 　＝　平方根［ （１．３＾２－１）　÷　０．１ ］　（2014/9/27 修正）
　　　　　　　 　＝　平方根（０．６９÷０．１）　（2014/9/27 修正）
　　　　　　　 　＝　２．６２６８　（2014/9/27 修正）


便宜上、この目的関数（パフォーマンス評価指標）を命名したいので、「年率オプティマルｆレシオ」（略してAROFレシオ：Annual rate at Optimal-f Ratio、あろっふれしお？）という名前にしてみました（笑） 　　　

最適化の為だけの評価であれば、同一期間のパフォーマンスを比較できればよいので、以下の計算式でも問題ないと思います。　自分が最近見直した最適化作業では、簡便的にこの式を使っています。
＃むしろ、下記（式２）が先に思いついて、ブログを書きながら、前述の（式１）に変形させた、といった流れです（笑）


　　　評価値（T2OFレシオ）　＝　（最終資産倍率＾２－１）　÷　オプティマルｆ　　　（式２）
　　　（2014/6/25 計算式修正）

さきほどと同じ条件で、かつ、検証結果が３年分の評価結果だとすると、評価値は以下の様になります。

　　　評価値　＝　｛（　１．３倍／年＾３年　）＾２　－１｝　÷０．３
　　　　　　　 　＝　（２．１９７＾２－１）　÷　０．３
　　　　　　　 　＝　（４．８２６８－１）　÷　０．３　
　　　　　　　　 ＝　１２．７５６

ついでにこれも、「T２OFレシオ」（TWR^2 at Optimal-f Ratio）と、命名しました（笑）



３．計算式の背景

もし条件が「オプティマルｆにおける幾何平均」であれば話は簡単なのですが、冒頭「目的関数の特性」にある、他の２つの条件を表現する必要があります。　　単純に考えると、「幾何平均÷オプティマルｆ」が思いついたのですが、３番目の条件を満たせなくなります。

なので、倍率で表現した「幾何平均」を２乗すれば、条件をクリアできる、と思いついたわけです。　要は、前述の（式２）です。
＃幾何平均が「＋１０％」であれば、１．１を２乗する

そして、（式２）を、もうちょっと意味がありそうな値として年率換算し、平方根をとることで、レベルをあわせ、（式１）に変形しました。　

「じゃあ、２乗じゃなくて、３乗や１．５乗じゃだめなのか？」　という疑問も、当然湧いてくると思うのですが、ダメな理由は何も思いつきません（笑）



４．考察


このパフォーマンス評価方法の欠点は、期待値がマイナスのシステムを評価できない点にあります。　　これは、そもそも「オプティマルｆ」を求める際、期待値がマイナスだと、オプティマルｆはゼロ（つまりトレードしない）がベストですので、実質的にオプティマルｆが求まらないためです。

あと、「オプティマルｆ」を求めるのが面倒、という欠点もあります。　　エクセルであれば「ソルバー」を使えば、簡単に求まります。　　プログラムで求める場合は、「２分探索木」のアルゴリズムを使って、任意に決めた一定レベルの精度にたどり着くまで計算する、という方法があり、私はそうしています。

ちなみに、「オプティマルｆなんて、ケリーの公式で簡単に求まるじゃないか」という意見もありそうですが、「ラルフ・ビンスの資金管理大全」では、以下の様に、実質的に否定されています。

「　利益が常に同額でないとき、かつ／または、損失が常に同額でないときにはケリーの公式は適用できない。　適用しても正しいオプティマルｆの値は得られない。　」　（「ラルフ・ビンスの資金管理大全」より）

なので、裏をかえすと、固定値幅でTP／SLを指定して、他に決済ルールが無い場合は、「ケリーの公式」が使えるという事だと思います。



５．最後に


ここまでで、前回ブログ記事でいう「資産を最大化してくれるか？」という観点で評価するための、目的関数の計算方法について書いてきました。　　つまり、パラメータ値の最適化時は、この「年率オプティマルｆレシオ」（もしくはT2OFレシオ）が最大になるパラメータ値を選ぶ事になります。　

ただし実際には、「堅牢なパラメータ値か？（局所解に陥っていないか？）」という配慮も必要になり、その取組みが、オーバー・フィッティングを避けれるかどうかを左右するのだと思います。

次回は、この方法を具体的に書いてみたいと思います。　たぶん（笑）




ではでは～